Предел прочности и предел текучести
В течение столетий свойства упругости материалов описывались законом Гука (ок. 1660 г.) и практически используемым параметром — модулем Юнга. Это простое соотношение напряжения и деформации — практичная и удобная величина, а вместе со значением коэффициента Пуассона для материала (характеризующего изменение размера материала в направлениях, отличных от основной оси, по которой он испытывает растяжение), оно позволяет определить усилия, возникающие при нагружении даже довольно сложных конструкций.
Когда снимается усилие, приложенное к упруго деформированной конструкции, она полностью восстанавливается. Однако, если приложенное к материалу усилие превышает его предел упругости, то происходит пластическая деформация, и после снятия этого усилия он сохранит постоянную деформацию. Поэтому простейшим описанием механических параметров материала является характеристика зависимости его деформации от напряжения при изменении последнего от нуля до величины, соответствующей полному разрушению материала.
Рис. 1. Схематичное изображение действительной диаграммы «напряжение-деформация» деформационно-упрочняемого металла
E — модуль Юнга,
σy, εy — координаты предела упругости,
εp — нелинейная часть совокупной деформации после точки εy,
εr — упругопластическая деформация, вызванная напряжением σr, превышающим предел упругости.
σy, εy — координаты предела упругости,
εp — нелинейная часть совокупной деформации после точки εy,
εr — упругопластическая деформация, вызванная напряжением σr, превышающим предел упругости.
Диаграмма зависимости напряжения от деформации показана на рис. 1. По этой диаграмме можно получить основные параметры прочности материала на растяжение.
– Модуль Юнга E равен наклону начального участка диаграммы. Он также равен наклону прямой, вдоль которой происходит упругое восстановление из любой точки диаграммы.
– Точка, в которой происходит отклонение характеристики от прямой, соответствует пределу упругости, который также часто называют пределом пластической деформации. Восстановление по прямой с наклоном E из любой точки характеристики, в которой напряжение или деформация больше, чем в этой, больше не приведет к возвращению в исходную точку, т. е. будет иметь место пластическая деформация.
– Наклон характеристики после начала пластической деформации — это мера деформационного упрочнения материала, т. е. упругое восстановление происходит по прямой, наклон E, и изменение материала при повторном нагружении также происходит по одной и той же линии, так что дальнейшая пластическая деформация начинается только при превышении предыдущего значения максимального напряжения.
– Точка, в которой происходит полное разрушение материала, соответствует двум рассматриваемым параметрам, один из которых — предел прочности; а другая — деформация разрыва.
– Модуль Юнга E равен наклону начального участка диаграммы. Он также равен наклону прямой, вдоль которой происходит упругое восстановление из любой точки диаграммы.
– Точка, в которой происходит отклонение характеристики от прямой, соответствует пределу упругости, который также часто называют пределом пластической деформации. Восстановление по прямой с наклоном E из любой точки характеристики, в которой напряжение или деформация больше, чем в этой, больше не приведет к возвращению в исходную точку, т. е. будет иметь место пластическая деформация.
– Наклон характеристики после начала пластической деформации — это мера деформационного упрочнения материала, т. е. упругое восстановление происходит по прямой, наклон E, и изменение материала при повторном нагружении также происходит по одной и той же линии, так что дальнейшая пластическая деформация начинается только при превышении предыдущего значения максимального напряжения.
– Точка, в которой происходит полное разрушение материала, соответствует двум рассматриваемым параметрам, один из которых — предел прочности; а другая — деформация разрыва.
Эти параметры составляют основные характеристики материала для проектирования любых конструкций и функций. Можно видеть, что диаграмма «напряжение-деформация» является основной отличительной характеристикой типа материалов. Упругий, а затем совершенно пластичный материал будет упруго деформироваться до предела пластической деформации, а затем продолжит деформироваться при постоянном напряжении, пока не произойдет его разрушение в точке предела прочности (точке разрушения). Поэтому предел пластической деформации также является пределом прочности. У совершенно упругого хрупкого материала нет предела упругости, он изменяется по прямой (наклон которой равен модулю Юнга) вплоть до разрушения с разрывом. Деформационно-упрочняемый материал деформируется, но способен выдерживать растущие напряжения вплоть до своего предела прочности и до максимального напряжения в точке разрушения.
В течение многих лет механические свойства материалов определялись классическими методами испытаний в основе которых лежит принцип внешнего воздействия на исследуемый образец и доведение его до частичного или полного разрушения. Конкретный метод улучшался и развивался с течением времени, но общий принцип не изменяется столетиями. Классические испытания на растяжение — это традиционно выбираемый разрушающий метод определения предела пластической деформации и соответствующего ей участка диаграммы «напряжение-деформация». Однако все разрушающие методы имеют ряд существенных недостатков. Основным, из которых является то, что испытание является разрушающим, а усреднение вносит погрешности из-за неоднородности свойств по объему конструкции, следовательно, отсутствует возможность применения данного метода на действующих объектах, натурных конструкциях и деталях.
В течение многих лет механические свойства материалов определялись классическими методами испытаний в основе которых лежит принцип внешнего воздействия на исследуемый образец и доведение его до частичного или полного разрушения. Конкретный метод улучшался и развивался с течением времени, но общий принцип не изменяется столетиями. Классические испытания на растяжение — это традиционно выбираемый разрушающий метод определения предела пластической деформации и соответствующего ей участка диаграммы «напряжение-деформация». Однако все разрушающие методы имеют ряд существенных недостатков. Основным, из которых является то, что испытание является разрушающим, а усреднение вносит погрешности из-за неоднородности свойств по объему конструкции, следовательно, отсутствует возможность применения данного метода на действующих объектах, натурных конструкциях и деталях.
Чтобы преодолеть ограничения традиционных методов определения механических свойств материалов был разработан метод инструментального индентирования. Данный метод может обеспечить свойства текучести (такие как кривая текучести, предел прочности, предел текучести и показатель упрочнения) практически неразрушающим путем посредством анализа кривых нагрузка - глубина вдавливания, которые представляют поведение деформации образца под жестким сферическим индентором.
Поскольку существует прямая связь между зависимостью деформации от напряжения и реакцией материала на вдавливание, цикл инструментального испытания на вдавливание, часто называют методом «частичной разгрузки», в котором используют постепенно нарастающее усилие, но делают остановки на ряде этапов, при которых усилие частично снимают для получения верхней части характеристики снятия нагрузки, необходимой чтобы определить контактную жесткость и глубину контакта (радиуса контакта) при этом усилии. Такое постепенное повышение и частичное снятие усилия на вдавливаемом наконечнике, позволяет получить отпечаток с широким диапазоном параметров в одном и том же месте. Глубина отпечатка не превышает 150 мкм, а диаметр примерно равен диаметру индентора (0,5 мм), что не нарушает целостности материала конструкции и не меняет физические свойства, поэтому испытание считается неразрушающим. Это позволяет провести действительно местное измерение реакции материала при деформации в широком диапазоне, по которому составляется диаграмма зависимости усилия от глубины вдавливания – диаграмма вдавливания, рис. 2.
Рис. 2. Пример диаграммы вдавливания.
Fmax – максимальное усилие вдавливание при соответствующей ему глубине вдавливания (hmax);
S – контактная жесткость (наклон касательной к диаграмме разгрузки при снятии усилия Fmax)
S – контактная жесткость (наклон касательной к диаграмме разгрузки при снятии усилия Fmax)
Для получения данных, необходимых для построения диаграммы вдавливания («усилие-глубина») проводят частичное повторение процедуры снятия нагрузки и определения таких параметров вдавливания, как \(F_{max}\), \(h_{max}\) и S для каждой частичной разгрузки.
При вдавливании сферического наконечника в материал, под индентором создаются условия напряжения и соответствующей ему деформации. Определяя соответствующие параметры материала на различных глубинах вдавливания сферического наконечника, в качестве точек типовой зависимости деформации от напряжения, на диаграмме растяжения отмечают точки действительной диаграммы «напряжение-деформация». Определяемые вдавливанием параметры прочности на растяжение можно оценить, приближая базовое уравнение к истинным точкам диаграммы «напряжение-деформация».
В ходе проведения процесса индентирования (испытания) расчет параметров прочности проходит в 4 этапа:
При вдавливании сферического наконечника в материал, под индентором создаются условия напряжения и соответствующей ему деформации. Определяя соответствующие параметры материала на различных глубинах вдавливания сферического наконечника, в качестве точек типовой зависимости деформации от напряжения, на диаграмме растяжения отмечают точки действительной диаграммы «напряжение-деформация». Определяемые вдавливанием параметры прочности на растяжение можно оценить, приближая базовое уравнение к истинным точкам диаграммы «напряжение-деформация».
В ходе проведения процесса индентирования (испытания) расчет параметров прочности проходит в 4 этапа:
Этапы расчета параметров
1-ый этап
Определение действительной площади контакта индентора с учетом высоты пластического наплыва (\(h_{pile}\)) и глубины упругого контакта (\(h_{d}\)).
Нагружение
Разгрузка
Наплыв
Упругая деформация
\(F_{max}\) - максимальное усилие при испытании (усилие вдавливания;
\(h_{p}\) - остаточная глубина отпечатка после снятия с образца для испытаний усилия \(F_{max}\);
\(h_{r}\) – пересечение касательной к кривой разгрузки при \(F_{max}\) с осью перемещений;
\(h_{max}\) - максимальная глубина вдавливания при \(F_{max}\);
\(h_{c}\) - глубина контакта вдавливаемого наконечника и образца для испытаний при \(F_{max}\);
\({h_{pile}}^{*}\) - высота пластического наплыва;
\(h_{d}\) - глубина упругого контакта (прогиба);
\(R\) - радиус сферического наконечника
\(a\) - фактический контактный радиус
\(a^{*}\) - контактный радиус без наплыва
\(h_{p}\) - остаточная глубина отпечатка после снятия с образца для испытаний усилия \(F_{max}\);
\(h_{r}\) – пересечение касательной к кривой разгрузки при \(F_{max}\) с осью перемещений;
\(h_{max}\) - максимальная глубина вдавливания при \(F_{max}\);
\(h_{c}\) - глубина контакта вдавливаемого наконечника и образца для испытаний при \(F_{max}\);
\({h_{pile}}^{*}\) - высота пластического наплыва;
\(h_{d}\) - глубина упругого контакта (прогиба);
\(R\) - радиус сферического наконечника
\(a\) - фактический контактный радиус
\(a^{*}\) - контактный радиус без наплыва
При вдавливании сферического индентора в материал, действительная площадь контакта \(A_{c}\) определяется с учетом фактического контактного радиуса – «а» и является функцией глубины контакта индентора и испытываемого материала:
\[A_{c}=f(h_{c})\]
\[h_{c}=h_c^*+h_{pile}^*=h_{max}-h_{d}+h_{pile}^*;\]
\[h_{d}=\omega(h_{max}-h_{r})=0,75\frac{F_{max}}{S},\]
\(\omega\) - показатель формы индентора 0,75 для сферического индентора, отсюда:
\[h_{c}=h_c^*+h_{pile}^*=h_{max}-\left(0,75\frac{F_{max}}{S}\right)+h_{pile}^*;\]
\[\frac{h_{pile}^*}{h_{c}^*}=f\left(n_{IT},\frac{h_{max}}{R}\right)\]
Степень пластического наплыва может быть выражена через постоянную «с» и связана с показателем деформационного упрочнения материала «n» следующим эмпирическим соотношением:
\[c^{2}=\frac{a^{2}}{a^{*2}}=\frac{5(2-n)}{2(4+n)}\]
где a фактический контактный радиус и, а* контактный радиус без наплыва.
Исходя из геометрии сферического индентора, реальный контактный радиус выражается через hc и радиус индентора R, как:
\[a^{2}=\frac{5(2-n)}{2(4+n)}(2Rh_c^*-h_c^{*2})\]
Определяем действительную площадь контакта — площадь контакта Ac, по реальной глубине контакта \(h_{c}\), соотнесенной с \(h_{pile}^*\) и \(h_{c}^*\):
\[A_{c}=\pi(2Rh_{c}-h_c^{2})\]
\[A_{c}=f(h_{c})\]
\[h_{c}=h_c^*+h_{pile}^*=h_{max}-h_{d}+h_{pile}^*;\]
\[h_{d}=\omega(h_{max}-h_{r})=0,75\frac{F_{max}}{S},\]
\(\omega\) - показатель формы индентора 0,75 для сферического индентора, отсюда:
\[h_{c}=h_c^*+h_{pile}^*=h_{max}-\left(0,75\frac{F_{max}}{S}\right)+h_{pile}^*;\]
\[\frac{h_{pile}^*}{h_{c}^*}=f\left(n_{IT},\frac{h_{max}}{R}\right)\]
Степень пластического наплыва может быть выражена через постоянную «с» и связана с показателем деформационного упрочнения материала «n» следующим эмпирическим соотношением:
\[c^{2}=\frac{a^{2}}{a^{*2}}=\frac{5(2-n)}{2(4+n)}\]
где a фактический контактный радиус и, а* контактный радиус без наплыва.
Исходя из геометрии сферического индентора, реальный контактный радиус выражается через hc и радиус индентора R, как:
\[a^{2}=\frac{5(2-n)}{2(4+n)}(2Rh_c^*-h_c^{*2})\]
Определяем действительную площадь контакта — площадь контакта Ac, по реальной глубине контакта \(h_{c}\), соотнесенной с \(h_{pile}^*\) и \(h_{c}^*\):
\[A_{c}=\pi(2Rh_{c}-h_c^{2})\]
2-ой этап
Выражение условий, созданных в материале под воздействием на него сферического наконечника, в качестве типовой зависимости деформации от напряжения.
Определение истинной деформации по полученному углу контакта \(\theta\), и истинного напряжения по величине усилия на инденторе (\(F_{max}\)), и истиной площади контакта \(A_{c}\), определенной на первом этапе:
\[\sigma_{T}=\frac{1}{\psi}\frac{F_{max}}{A_{c}}, \epsilon_{T}=\alpha\tan\theta , \left(или \sin\theta\right)\]
Где \(\psi\) - коэффициент относительного давления (предела пластичности);
\(\alpha\) - коэффициент пропорциональности истинной деформации
Деформация может быть выражена через контактный радиус (а) с помощью подстановки константы \(\alpha\):
\[\epsilon_{T}=\frac{\alpha}{\sqrt{1-(a/R)^{2}}}\frac{\alpha}{R}\]
Для металлических материалов \(\psi\) =3,0 и \(\alpha\) = 0,14
Определение истинной деформации по полученному углу контакта \(\theta\), и истинного напряжения по величине усилия на инденторе (\(F_{max}\)), и истиной площади контакта \(A_{c}\), определенной на первом этапе:
\[\sigma_{T}=\frac{1}{\psi}\frac{F_{max}}{A_{c}}, \epsilon_{T}=\alpha\tan\theta , \left(или \sin\theta\right)\]
Где \(\psi\) - коэффициент относительного давления (предела пластичности);
\(\alpha\) - коэффициент пропорциональности истинной деформации
Деформация может быть выражена через контактный радиус (а) с помощью подстановки константы \(\alpha\):
\[\epsilon_{T}=\frac{\alpha}{\sqrt{1-(a/R)^{2}}}\frac{\alpha}{R}\]
Для металлических материалов \(\psi\) =3,0 и \(\alpha\) = 0,14
3-ий этап
Подбор точек действительной диаграммы «напряжение-деформация» для соответствующего базового уравнения.
Для материалов со степенным упрочнением (область пластической деформации)
\[\sigma_{T}=K\epsilon_T^n\]
Для материалов с линейным упрочнением (материалы с решеткой ГЦК):
\[\sigma_{T}=a+b\epsilon_{T}\]
где a, b – постоянные корреляции;
n – Показатель степени деформационного упрочнения.
К – коэффициент прочности.
Точные значения показателя упрочнения и коэффициента прочности рассчитываются итерационным методом.
Для материалов со степенным упрочнением (область пластической деформации)
\[\sigma_{T}=K\epsilon_T^n\]
Для материалов с линейным упрочнением (материалы с решеткой ГЦК):
\[\sigma_{T}=a+b\epsilon_{T}\]
где a, b – постоянные корреляции;
n – Показатель степени деформационного упрочнения.
К – коэффициент прочности.
Точные значения показателя упрочнения и коэффициента прочности рассчитываются итерационным методом.
Соответствующие точки напряжения-деформации
\(\sigma_{T}=K\epsilon_T^n\)
\[\sigma_{y,IT}=E_{IT}(\epsilon_{y}-0,002)\]
Последовательность типичных значений напряжения и деформации может быть определена путем анализа каждой кривой разгрузки в соответствии с вышеописанной процедурой, а затем значения могут быть приведены в виде простого уравнения Холломона степенного типа: \[\sigma=K{(\epsilon)}^{n}\]
4-ый этап
Оценка параметров прочности при растяжении:
Предел текучести можно определить по точке пересечения участков диаграммы — линейного для упругой деформации (его наклон равен модулю упругости) и участка степенной деформации (участок пластической деформации).
Предел текучести определяется путем экстраполяции Уравнения \(\sigma=K{(\epsilon)}^{n}\) к режиму низкой деформации:
\[K\epsilon_y^n=E\left(\epsilon_{y}-0,002\right);\]
\[\sigma=K{(\epsilon_{y}+b)}^{n}\]
где \(\epsilon_{y}\) – деформация упругости;
Е – модуль упругости при индентировании.
Модуль упругости определяется по контактной жесткости. Начальный - прямолинейный участок на кривой разгрузки, отражает упругое восстановление материала. Кривая разгрузки может быть выражена в степенном соотношении следующим образом:
\[F=k{(h-h_{f})}^{m}\]
где m и k – постоянные корреляции.
\[S=\left(\frac{dF}{dh}\right)_{h=h_{max}}=km{(h_{max}-h_{f})}^{m-1}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}E_{r}\sqrt{A_{c}}\]
\[\frac{1}{E_{r}}=\frac{1-\upsilon^{2}}{E}+\frac{1-\upsilon_i^2}{E_{i}}\]
где v и vi — коэффициент Пуассона материала и индентора соответственно;
Er — приведенный модуль упругости;
Ei — модуль упругости головки индентора.
Приведенный модуль упругости:
\[E_{r}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}S\frac{1}{\sqrt{A_{c}}}\]
Определение предела прочности производится на основе понятия о нестабильности при растяжении:
\[F=\sigma A;\] \[\frac{dl}{l}=-\frac{dA}{A}=d\epsilon, -\frac{dA}{A}=\frac{d\sigma}{\sigma}\] \[\frac{d\sigma}{d\epsilon}=\sigma\]
Из этого следует: \[\epsilon_{u}=c\cdot n_{IT}\] \[\epsilon_{u}=n\]
где с – постоянная корреляции,
\(\epsilon_{u}\) - истинная однородная деформация,
Использую тот факт, что деформация при растяжении такая же, как и показатель деформационного упрочнения, имеем: \[\sigma_{ _{UTS}}=Kn^{n}\]
Предел текучести можно определить по точке пересечения участков диаграммы — линейного для упругой деформации (его наклон равен модулю упругости) и участка степенной деформации (участок пластической деформации).
Предел текучести определяется путем экстраполяции Уравнения \(\sigma=K{(\epsilon)}^{n}\) к режиму низкой деформации:
\[K\epsilon_y^n=E\left(\epsilon_{y}-0,002\right);\]
\[\sigma=K{(\epsilon_{y}+b)}^{n}\]
где \(\epsilon_{y}\) – деформация упругости;
Е – модуль упругости при индентировании.
Модуль упругости определяется по контактной жесткости. Начальный - прямолинейный участок на кривой разгрузки, отражает упругое восстановление материала. Кривая разгрузки может быть выражена в степенном соотношении следующим образом:
\[F=k{(h-h_{f})}^{m}\]
где m и k – постоянные корреляции.
\[S=\left(\frac{dF}{dh}\right)_{h=h_{max}}=km{(h_{max}-h_{f})}^{m-1}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}E_{r}\sqrt{A_{c}}\]
\[\frac{1}{E_{r}}=\frac{1-\upsilon^{2}}{E}+\frac{1-\upsilon_i^2}{E_{i}}\]
где v и vi — коэффициент Пуассона материала и индентора соответственно;
Er — приведенный модуль упругости;
Ei — модуль упругости головки индентора.
Приведенный модуль упругости:
\[E_{r}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}S\frac{1}{\sqrt{A_{c}}}\]
Определение предела прочности производится на основе понятия о нестабильности при растяжении:
\[F=\sigma A;\] \[\frac{dl}{l}=-\frac{dA}{A}=d\epsilon, -\frac{dA}{A}=\frac{d\sigma}{\sigma}\] \[\frac{d\sigma}{d\epsilon}=\sigma\]
Из этого следует: \[\epsilon_{u}=c\cdot n_{IT}\] \[\epsilon_{u}=n\]
где с – постоянная корреляции,
\(\epsilon_{u}\) - истинная однородная деформация,
Использую тот факт, что деформация при растяжении такая же, как и показатель деформационного упрочнения, имеем: \[\sigma_{ _{UTS}}=Kn^{n}\]
